Microsoft Mathematics 4.0

No es de extrañar que la pieza que me faltara por encajar en todo lo referente a las TICs y mi unidad didáctica, fuera preguntarme qué había hecho Microsoft en esta rama. Pues bien, he descubierto este producto llamado Microsoft Mathematics 4.0

He aquí un vídeo donde se puede observar su instalación (inglés):

En este vídeo, se expone alguno de sus usos:

Como se puede observar, el Microsoft Mathematics 4.0 es un programa que puedes instalar en tu ordenador (en el sistema operativo Windows) y tener en un mismo programa: un editor de ecuaciones donde se pueda escribir expresiones matemáticas de forma natural, sin buscar opciones artificiales que hacen de su escritura un auténtico calvario, y sin utilizar lenguajes específicos como el LaTex; una calculadora de análisis simbólico, donde resolver a la vez que se escribe ecuaciones para calcular puntos de corte, operar funciones y otras utilidades; y un graficador de funciones, no sólo en dos dimensiones, sino también en tres dimensiones.

En conclusión, una herramienta fuerte, a la altura de una empresa importante.

La calculadora de límites

Otra de las herramientas que he probado estos últimos días es la calculadora de límites. Cuando uno investiga qué herramientas serían plausibles y que sería de utilidad encontrar, evidentemente siempre se piensa en el cálculo de límites como parte importante de la unidad didáctica y por tanto un destino importante que investigar.

Encontrar una buena herramienta en este aspecto no es nada fácil. La teoría en este tema es muy amplia y no es sencilla de implementar, es decir, un límite cuando x tiende a un número, no es lo mismo que un límite cuando x tiene a más o menos infinito, más aún, un límite cuando x tiende a un punto, sólo existe si los límites laterales existen y son iguales. Son conceptos teóricos que nada tienen que ver con las TICs, pero sí con las "deficiencias" que he encontrado en la herramienta que quiero presentar.

La calculadora de límites da resultados inmediatos incluyendo la función y a qué tiende x (permite cambiar la variable de nombre). Sin embargo, siendo formal, da solución a límites que no existen y/o no distingue entre más y menos infinito. Por ejemplo, el límite cuando x tiende a 0 de la función f(x)=1/x no existe, porque por la derecha tiende a más infinito y por la izquierda tiende a menos infinito (los límites laterales existen pero no coinciden). Según esta herramienta, el límites es "inf".

En cualquier caso, para iniciar en el cálculo de límites es una herramienta aceptable, y es más que suficiente para el currículo de la ESO.

La calculadora de funciones

La calculadora de funciones es un espacio web donde en un corto espacio, se tiene la posibilidad de realizar numerosas operaciones entre funciones y además, ver a la vez su representación. Entre las operaciones se incluyen la suma/diferencia, el producto, la división y la composición (sólo entre dos funciones).

Como marco del graficador, tenemos una amplia biblioteca de familias de funciones para operar entre ellas, aunque tiene incrustada la consola de GeoGebra, por lo que también se puede incluir la ecuación analítica de la función deseada.

Esta herramienta, aún es más potente, y es que permite calcular (y consecuentemente representar), derivadas o primitivas de la función que se le entre. No es que sea algo de utilidad en secundaria, pero si empiezan a familiarizarse con esta herramienta y tienen la curiosidad suficiente, pueden descubrir por ellos mismos, ciertos conceptos que de otra manera no conocerían con anterioridad sin prejuicios.

En conclusión es una TIC maravillosa que integra muy bien los dos grandes grupos de necesidades que tiene esta unidad didáctica: el cálculo simbólico y la representación de funciones.

Otros programas que grafican funciones

Hoy voy a hablar de dos utilidades, que pese a no ofrecer nada nuevo, nunca está de más tener a mano otras posibilidades.

Graphmatica:

Este programa permite representar funciones (con igualdad) y su epígrafo y complementario (con desigualdades). Como dato, y aunque no he tenido paciencia para comprobarlo, el programa dice permitir representar un total de 999 funciones a la vez. También representa otro tipo de curvas.

En cuanto a su función "calculadora", realiza ciertas operaciones de interés, como cálculo de puntos críticos (máximos y mínimos), puntos de corte o rectas tangentes a la curva.

Sin duda es un programa aceptable, pero que no ofrece ninguna novedad salvo la visual.

Graph:

En este caso, Graph me ha parecido un programa bastante mejorable. Tiene algo que no me gusta y es que cada vez que escribes un miembro de una función como una fracción, lo aproxima a un número decimal, lo que hace que este programa pocas veces sea útil y se coloque en la última opción a elegir entre los programas de características similares.

Como otros programas, también realiza ciertos cálculos de interés sobre funciones.

Para finalizar, me gustaría destacar que es contenido digital "verde" y que por tanto son de licencia totalmente libre.

Actividad 8: Creación de un portafolio

Para concluir de rellenar todas las pestañas superiores, hoy he completado la relativa a DOCUMENTOS. Para ello he creado un portafolio (carpeta en Google Drive) compartida donde he realizado varias secciones (una para documentos de texto, otra para hojas de cálculo, otra para presentaciones, otra para imágenes y dibujos, otra para documentos en pdf, otra para formularios y otra para otro tipo de documentos, por ejemplo de GeoGebra).

He rellenado cada carpeta con algún documento de cada tipo, teniendo en cuenta la unidad didáctica, por ejemplo: he creado una hoja de texto con ejercicios, un pdf con otro ejercicio relativo a funciones, previamente representadas con GeoGebra, una rúbrica de evaluación de la unidad con un GoogleForm y una hoja de cálculo que permite calcular la calificación final de un alumno en una hoja y en otra ofrece estadísticas y un sector circular con los grupos de notas.

Finalmente, en la pestaña he subido una foto propia, que al pincharla, enlaza directamente con el portafolio.

Actividad 7: Crear una rúbrica de evaluación con GoogleForms

En esta ocasión, he aprendido a utilizar el GoogleForms del Google Drive para crear una rúbrica de evaluación de mi propio videotutorial realizado en la actividad 3. Esta actividad está alojada en la pestaña superior de RÚBRICAS.

Como ya conocía el GoogleForms, ha sido realmente sencillo de realizar. Lo único que he tenido que hacer es elegir la opción "Cuadrícula" en Tipo de Pregunta e ir rellenando por filas y por columnas todas las posibles opciones. En este caso, he seguido la guía de la asignatura para ver qué se valoraba en esa actividad y escribir los items de valoración correspondientes. En cuanto a la escala de valoración, he puesto 5 posibilidades permitiendo así mayor abanico de opciones a la hora de valorar cada item.

Lo mejor de esta actividad, es poder autoevaluarte y saber qué puntos hay que mejorar en los próximos videotutoriales. Lo peor sin duda son los diseños que ofrece el GoogleForms, que bajo mi punto de vista son muy mejorables y generalmente inapropiados para este tipo de cosas.

Aunque como ya he dicho, estará alojado en la pestaña, aquí dejo cómo me ha quedado:

Actividad 6: Evaluación. Hot Potatoes, ExeLearning y JClic

Hoy he utilizado tres recursos diferentes para confeccionar actividades online: Hot Potatoes, ExeLearning y JClic, con el fin de completar la pestaña EVALUACIÓN de la parte superior. Iré una por una:

Hot Potatoes: a pesar de su apariencia extraña, es una gran herramienta con varios tipos de actividades. En el caso de matemáticas y de la unidad didáctica que nos importa, tiene amplias posibilidades para la parte teórica. He creado dos actividades con esta herramienta:

• En la primera, he creado un Quiz de cinco preguntas en las que sólo una de las diferentes respuestas es la correcta.
• En la segunda, escribo la primera parte de una frase inicial, y tienen que elegir cuál de las diferentes respuestas que salen en una lista es la que encaja, teniendo en cuenta que cada opción encaja con una única frase inicial.

En ambos casos, las preguntas son relativas al videotutorial de la actividad 3.

ExeLearning: me ha parecido una herramienta muy potente para crear incluso un libro entero. Tiene muchas posibilidades y parece inabordable aprender todo lo que ofrece en el poco tiempo del que disponemos ahora, pero estoy seguro que será una herramienta que usaré en el futuro. He confeccionado una actividad un tanto especial que permita desarrollar la competencia básica aprender a aprender, que enlaza con uno de los recursos TIC que incluí en la lista: la calculadora de funciones.

JClic: es la que más me ha gustado con diferencia, pero la que quizás menos útil es para esta unidad didáctica. Permite crear tus propios programas a partir de una generosa lista de posibilidades diferentes. No he podido resistirme a crear una cuarta actividad en la que se tenga que enlazar una función con su inversa. Es una actividad muy simple, pero que me ha permitido iniciarme en su funcionamiento:

Actividad 5: Recursos TIC / Symbaloo

En esta ocasión, he completado la pestaña superior de RECURSOS TIC. Para ello simplemente he recopilado las herramientas TIC que ya había comentado en este blog, y las que tengo pensado hacer próximamente. En total me han salido una docena de ellas.

Por otro lado, me he registrado en Symbaloo y he creado un Webmix con un montón de recursos TIC que hemos utilizado a lo largo del curso aplicables a matemáticas y en general a la docencia de la secundaria.

Symbaloo me ha parecido una herramienta muy interesante, desde el punto de vista de que permite con un golpe de vista observar todo el dominio de posibilidades y simplemente haciendo un clic acceder al servicio.

Crear el webmix ha sido muy sencillo, ya que existe una base de datos de enlaces (bloques) populares en la que he encontrado la mayoría de entradas. Sin embargo, algunos de matemáticas los he tenido que crear yo mismo aunque ha sido en cualquier caso sencillo e intuitivo. El tamaño del webmix es personalizable dentro de unos parámetros. A pesar de que haya sido sencillo de realizar, no es menos cierto que requiere bastante tiempo pensar y buscar los recursos TIC que poner dentro como bloques.

Este es el resultado:

Actividad 4: El Canal de YouTube

Para esta actividad, he tenido que emplear mucho más tiempo del que pensaba, y es que creo que YouTube no es precisamente un lugar en internet fácilmente editable. He tenido que recurrir varias veces a la ayuda en la red (y paradojamente el propio YouTube) para cosas aparentemente simples como buscar el nombre de mi propio canal, cambiar el nombre posteriormente y crear un iframe para en el blog con el fin de obtener suscriptores. También he personalizado el canal con una descripción, una foto y un fondo.

Posteriormente me he suscrito a un buen número de canales en YouTube relacionados con la unidad didáctica, con las matemáticas en general y con los recursos TIC. Además, me he suscrito a las novedades de algunos de mis compañeros.

Como para colocar el video de la Actividad 3 aquí en el blog, ya había subido el vídeo, no he tenido que hacer nada, pero sí le he puesto título, le he puesto etiquetas, he escrito una descripción y por supuesto, he cambiado la imagen en miniatura que aparecía por otra, algo que personalmente creía muy necesario.

En la página que hay en la parte superior del blog llamada VIDEOS hay enlaces a cada uno de mis videos, tanto los relativos con el máster como los videotutoriales que he hecho para esta asignatura o para el blog en sí. En cualquier caso, para seguir y/o visitar mi canal de YouTube sólo hay que pinchar aquí abajo:

Análisis simbólico

Tengo pendiente encontrar alguna TIC diferente que no se quedara en la representación de las funciones sin más, sino que me permita utilizar el álgebra de funciones y así poder realizar operaciones. O quizás, ¿por qué no todo junto?

Cualquier aplicación sencilla de álgebra computacional serviría para la suma, diferencia, producto y división de funciones, sin embargo, no estoy seguro de que la composición de funciones sea una de las operaciones ofrecidas, si bien, es probable que se pueda programar.

Durante estas vacaciones, he encontrado varias, pero pocas de ellas son de licencia libre, lo cual limita muchísimo mi profundidad en ellas. Una de las libres está incluida en el Moodle y se llama Wiris. He aquí un videotutorial sobre las prestaciones que tiene:

En efecto, encuentro que esta aplicación es maravillosa y cubre prácticamente al 100% todo lo que busco. Es también un editor de ecuaciones, por lo que es una buena herramienta para los alumnos y alumnas de necesidades especiales que tengan dificultad para escribir a mano.

He encontrado otras aplicaciones de pago que son bastante peores que ésta, pero también tengo la esperanza de encontrar otras libres con más o menos las mismas prestaciones, aunque sean al menos de cálculo simbólico.

Códigos QR

Llevo un montón de tiempo queriendo profundizar en el tema de los códigos QR. Podemos encontrar códigos QR en cualquier cartel de la calle, en las paradas de autobús, incluso en algunos anuncios de televisión. Los códigos QR actúan como código de barras que se lee desde una aplicación gratuita en los teléfonos móviles, que enlazan a diversos lugares en internet, ya sea una imagen, un video, o una página en internet. Sus posibilidades son infinitas y su uso bastante sencillo.

¿Podemos utilizarlo para la docencia? La respuesta es ... ¡por supuesto!. 

Hoy en día, casi todos los alumnos de secundaria tienen un smartphone en el bolsillo. Utilizar o guiar el uso de ese teléfono en el desarrollo de nuestra asignatura es una estrategia inteligente y además eficaz.

Para crear un Código QR podemos ir a la página http://www.codigo-qr.es/ donde podremos elegir si queremos enseñar un texto, un teléfono, un sitio web ... En nuestro caso, y aprovechando la tecnología de Google, podemos enlazar documentos de texto o incluso videos de Youtube con contenidos interactivos en los apuntes y/o ejercicios.

Por ejemplo, esto podría ser una aplicación de los códigos QR a mi clase:


Para ver las soluciones, simplemente descarga cualquier lector QR gratuito para tu smartphone.

Representación de funciones III: Funciones definidas a trozos

Hoy por fin lo he conseguido. El último peldaño que me faltaba en mis aspiraciones a representar funciones ha sido superado. Por fin sé cómo representar funciones a trozos utilizando un software.

He estado buscando numerosos software diferentes que se especializaran en esta tarea, y han sido muchos los que he encontrado, pero ninguno parecía evidente, eran engorrosos y además no veía ningún puente entre el programa y el aula, ya que el lenguaje era bastante complicado.

Una vez más, la solución estaba más cerca de lo que creía. Bastaba con leer detenidamente el manual del GeoGebra (http://www.geogebra.org/help/docues.pdf). Aquí se detalla cómo representar una función en un dominio determinado. Esto encaja muy bien en el formato de una función definida a trozos, donde una función, dependiendo de dónde nos encontramos, toma unos valores u otros. Una vez después de leer los comandos y he creído entender el procedimiento, me he propuesto este ejercicio:

Nótese que el dominio de esta función, no incluye el -1, por lo que en el punto (-1,0) tiene que aparecer un punto abierto.

Para representar la función en completo, he utilizado el siguiente comando en cada trozo:

En este vídeo exhibo cómo he llegado a dibujar la gráfica completa:

Finalmente, he conseguido mi objetivo. Aquí queda el resultado de mi propia tarea propuesta, y el resultado es satisfactorio.

Representación de Funciones II: El Dibujante de Gráficas

El GeoGebra es una aplicación DEFINITIVA en la enseñanza de las funciones y sus gráficas, más aún, es una herramienta potente casi para cualquier bloque matemático relacionado con el Análisis Matemático y la Geometría. Aún así, para casos un tanto específicos, el GeoGebra es insuficiente, por ejemplo:

1. Funciones definidas a trozos: a pesar de poder representar varias funciones a la vez y cambiarles los colores, no he encontrado la manera de especificar el dominio donde quiero dibujarlas en cada caso, algo en lo que seguiré investigando.
2. Ausencia de tabla de valores: ya que dibuja la gráfica, te permite interactuar, pero quizás sería interesante ver una tabla de valores a modo de diccionario entre el idioma analítico y el gráfico. En este sentido, he encontrado un "applet" (que desgraciadamente no puedo integrar en Blogger) llamado "El Dibujante de Gráficas", propiedad de The Shodor Education Foundation, Inc. que sí permite dibujar la función introduciendo su ecuación analítica y posteriormente pinchar sobre un botón que abre una ventana con una tabla de valores totalmente configurable.

Pincha aquí para acceder a EL DIBUJANTE DE GRÁFICAS

Recurso TIC para funciones a alumnos y alumnas invidentes

Investigando cómo podría enfrentarme al reto de enseñar funciones a alumnos y alumnas invidentes, he decidido buscar por internet qué recursos existen y cómo se utilizan. Una vez más, lo que parece rocoso y lejano, ha resultado ser sencillo, intuitivo y sobretodo productivo.

Consiste en un simple tablero de corcho montado sobre una alfombra de goma en relieve con una cuadrícula. Sobre él, mediante bandas de goma y soportes (como chinchetas), podemos representar fácilmente rectas y parábolas de manera simple y eficaz.

Pero, ¿cómo lo haríamos? Primero fijamos los ejes con bandas de goma (a ser posible de grosor diferente para diferenciar de las curvas que representaremos después).

Para funciones lineales, simplemente habría que poner una chincheta en el origen y calcular un punto adicional y colocar otra chincheta sobre la cuadrícula. Uniendo las dos chinchetas con una banda de goma, tendremos la recta representada. Para funciones afines, repetiríamos la segunda parte del proceso anterior dos veces.

Para parábolas, al igual que hacemos normalmente, fijaríamos el vértice y calcularíamos los puntos de corte con los ejes (si es necesario, adicionalmente, más puntos), si bien, para este tipo de funciones, necesitaríamos un alambre que parta del vértice y pase por todas las chinchetas (aprovechando la simetría con respecto a la recta que contiene al vértice). 

Como dato negativo, quizás tenemos el precio del material, que ronda los 180$ (Graphic Aid for Mathematics), si bien, varios blogs relacionados con este tema, resaltan los resultados obtenidos mediante este método.

Representación de Funciones I: GEOGEBRA

Hoy he encontrado una aplicación que podría ser muy útil para que los alumnos y alumnas aprendan cómo cambia la ecuación de una función elemental cuando hacemos movimientos sobre el plano: el GeoGebra.

Simplemente escribiendo la ecuación de la función, el GeoGebra la dibuja. Una vez dibujada, con el icono de la flecha, la alumna o el alumno puede mover la función, a la vez que varía la ecuación (algo realmente incómodo en una pizarra convencional).

He aquí un vídeo de demostración:

Además, si el aula en el que estamos trabajando, no hay ordenador, la aplicación tiene versión para el smartphone. En el caso de que los teléfonos estén permitidos en clase, podemos hacer uso de la aplicación de manera similar a como hoy en día, algunos profesores de matemáticas dejan utilizar la calculadora.

La aplicación es muy intuitiva, y no sólo sirve para funciones, tiene una amplia variedad de aplicaciones, por ejemplo, en geometría o incluso en cónicas.

Para practicar la herramienta por ti mismo, he creado un iframe: