Microsoft Mathematics 4.0

No es de extrañar que la pieza que me faltara por encajar en todo lo referente a las TICs y mi unidad didáctica, fuera preguntarme qué había hecho Microsoft en esta rama. Pues bien, he descubierto este producto llamado Microsoft Mathematics 4.0

He aquí un vídeo donde se puede observar su instalación (inglés):

En este vídeo, se expone alguno de sus usos:

Como se puede observar, el Microsoft Mathematics 4.0 es un programa que puedes instalar en tu ordenador (en el sistema operativo Windows) y tener en un mismo programa: un editor de ecuaciones donde se pueda escribir expresiones matemáticas de forma natural, sin buscar opciones artificiales que hacen de su escritura un auténtico calvario, y sin utilizar lenguajes específicos como el LaTex; una calculadora de análisis simbólico, donde resolver a la vez que se escribe ecuaciones para calcular puntos de corte, operar funciones y otras utilidades; y un graficador de funciones, no sólo en dos dimensiones, sino también en tres dimensiones.

En conclusión, una herramienta fuerte, a la altura de una empresa importante.

La calculadora de funciones

La calculadora de funciones es un espacio web donde en un corto espacio, se tiene la posibilidad de realizar numerosas operaciones entre funciones y además, ver a la vez su representación. Entre las operaciones se incluyen la suma/diferencia, el producto, la división y la composición (sólo entre dos funciones).

Como marco del graficador, tenemos una amplia biblioteca de familias de funciones para operar entre ellas, aunque tiene incrustada la consola de GeoGebra, por lo que también se puede incluir la ecuación analítica de la función deseada.

Esta herramienta, aún es más potente, y es que permite calcular (y consecuentemente representar), derivadas o primitivas de la función que se le entre. No es que sea algo de utilidad en secundaria, pero si empiezan a familiarizarse con esta herramienta y tienen la curiosidad suficiente, pueden descubrir por ellos mismos, ciertos conceptos que de otra manera no conocerían con anterioridad sin prejuicios.

En conclusión es una TIC maravillosa que integra muy bien los dos grandes grupos de necesidades que tiene esta unidad didáctica: el cálculo simbólico y la representación de funciones.

Otros programas que grafican funciones

Hoy voy a hablar de dos utilidades, que pese a no ofrecer nada nuevo, nunca está de más tener a mano otras posibilidades.

Graphmatica:

Este programa permite representar funciones (con igualdad) y su epígrafo y complementario (con desigualdades). Como dato, y aunque no he tenido paciencia para comprobarlo, el programa dice permitir representar un total de 999 funciones a la vez. También representa otro tipo de curvas.

En cuanto a su función "calculadora", realiza ciertas operaciones de interés, como cálculo de puntos críticos (máximos y mínimos), puntos de corte o rectas tangentes a la curva.

Sin duda es un programa aceptable, pero que no ofrece ninguna novedad salvo la visual.

Graph:

En este caso, Graph me ha parecido un programa bastante mejorable. Tiene algo que no me gusta y es que cada vez que escribes un miembro de una función como una fracción, lo aproxima a un número decimal, lo que hace que este programa pocas veces sea útil y se coloque en la última opción a elegir entre los programas de características similares.

Como otros programas, también realiza ciertos cálculos de interés sobre funciones.

Para finalizar, me gustaría destacar que es contenido digital "verde" y que por tanto son de licencia totalmente libre.

Representación de funciones III: Funciones definidas a trozos

Hoy por fin lo he conseguido. El último peldaño que me faltaba en mis aspiraciones a representar funciones ha sido superado. Por fin sé cómo representar funciones a trozos utilizando un software.

He estado buscando numerosos software diferentes que se especializaran en esta tarea, y han sido muchos los que he encontrado, pero ninguno parecía evidente, eran engorrosos y además no veía ningún puente entre el programa y el aula, ya que el lenguaje era bastante complicado.

Una vez más, la solución estaba más cerca de lo que creía. Bastaba con leer detenidamente el manual del GeoGebra (http://www.geogebra.org/help/docues.pdf). Aquí se detalla cómo representar una función en un dominio determinado. Esto encaja muy bien en el formato de una función definida a trozos, donde una función, dependiendo de dónde nos encontramos, toma unos valores u otros. Una vez después de leer los comandos y he creído entender el procedimiento, me he propuesto este ejercicio:

Nótese que el dominio de esta función, no incluye el -1, por lo que en el punto (-1,0) tiene que aparecer un punto abierto.

Para representar la función en completo, he utilizado el siguiente comando en cada trozo:

En este vídeo exhibo cómo he llegado a dibujar la gráfica completa:

Finalmente, he conseguido mi objetivo. Aquí queda el resultado de mi propia tarea propuesta, y el resultado es satisfactorio.

Representación de Funciones II: El Dibujante de Gráficas

El GeoGebra es una aplicación DEFINITIVA en la enseñanza de las funciones y sus gráficas, más aún, es una herramienta potente casi para cualquier bloque matemático relacionado con el Análisis Matemático y la Geometría. Aún así, para casos un tanto específicos, el GeoGebra es insuficiente, por ejemplo:

1. Funciones definidas a trozos: a pesar de poder representar varias funciones a la vez y cambiarles los colores, no he encontrado la manera de especificar el dominio donde quiero dibujarlas en cada caso, algo en lo que seguiré investigando.
2. Ausencia de tabla de valores: ya que dibuja la gráfica, te permite interactuar, pero quizás sería interesante ver una tabla de valores a modo de diccionario entre el idioma analítico y el gráfico. En este sentido, he encontrado un "applet" (que desgraciadamente no puedo integrar en Blogger) llamado "El Dibujante de Gráficas", propiedad de The Shodor Education Foundation, Inc. que sí permite dibujar la función introduciendo su ecuación analítica y posteriormente pinchar sobre un botón que abre una ventana con una tabla de valores totalmente configurable.

Pincha aquí para acceder a EL DIBUJANTE DE GRÁFICAS

Recurso TIC para funciones a alumnos y alumnas invidentes

Investigando cómo podría enfrentarme al reto de enseñar funciones a alumnos y alumnas invidentes, he decidido buscar por internet qué recursos existen y cómo se utilizan. Una vez más, lo que parece rocoso y lejano, ha resultado ser sencillo, intuitivo y sobretodo productivo.

Consiste en un simple tablero de corcho montado sobre una alfombra de goma en relieve con una cuadrícula. Sobre él, mediante bandas de goma y soportes (como chinchetas), podemos representar fácilmente rectas y parábolas de manera simple y eficaz.

Pero, ¿cómo lo haríamos? Primero fijamos los ejes con bandas de goma (a ser posible de grosor diferente para diferenciar de las curvas que representaremos después).

Para funciones lineales, simplemente habría que poner una chincheta en el origen y calcular un punto adicional y colocar otra chincheta sobre la cuadrícula. Uniendo las dos chinchetas con una banda de goma, tendremos la recta representada. Para funciones afines, repetiríamos la segunda parte del proceso anterior dos veces.

Para parábolas, al igual que hacemos normalmente, fijaríamos el vértice y calcularíamos los puntos de corte con los ejes (si es necesario, adicionalmente, más puntos), si bien, para este tipo de funciones, necesitaríamos un alambre que parta del vértice y pase por todas las chinchetas (aprovechando la simetría con respecto a la recta que contiene al vértice). 

Como dato negativo, quizás tenemos el precio del material, que ronda los 180$ (Graphic Aid for Mathematics), si bien, varios blogs relacionados con este tema, resaltan los resultados obtenidos mediante este método.

Representación de Funciones I: GEOGEBRA

Hoy he encontrado una aplicación que podría ser muy útil para que los alumnos y alumnas aprendan cómo cambia la ecuación de una función elemental cuando hacemos movimientos sobre el plano: el GeoGebra.

Simplemente escribiendo la ecuación de la función, el GeoGebra la dibuja. Una vez dibujada, con el icono de la flecha, la alumna o el alumno puede mover la función, a la vez que varía la ecuación (algo realmente incómodo en una pizarra convencional).

He aquí un vídeo de demostración:

Además, si el aula en el que estamos trabajando, no hay ordenador, la aplicación tiene versión para el smartphone. En el caso de que los teléfonos estén permitidos en clase, podemos hacer uso de la aplicación de manera similar a como hoy en día, algunos profesores de matemáticas dejan utilizar la calculadora.

La aplicación es muy intuitiva, y no sólo sirve para funciones, tiene una amplia variedad de aplicaciones, por ejemplo, en geometría o incluso en cónicas.

Para practicar la herramienta por ti mismo, he creado un iframe: